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| math:calculus:mooc:mit_1801x:b:applications [2023/09/01 06:27] – [实例：加热所需的能量] codinghare | math:calculus:mooc:mit_1801x:b:applications [2023/09/01 06:33] (当前版本) – [实例：加热所需的能量] codinghare | ||
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| 行 270: | 行 270: | ||
| 此处采用了对 $y$ 进行细分，而不是 $x$。这是因为温度基于 $y$ 轴而变化；因此对于每一个 $dy$ 对应的单位体积，其温度是不变的。这样使得求 $dy$ 对应的能量总量非常方便。 | 此处采用了对 $y$ 进行细分，而不是 $x$。这是因为温度基于 $y$ 轴而变化；因此对于每一个 $dy$ 对应的单位体积，其温度是不变的。这样使得求 $dy$ 对应的能量总量非常方便。 | ||
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| + | <WRAP center round tip 100%> | ||
| + | 注意单位在运算中的匹配。比如 $1cal$ 对应 $cm^3$ 与 $1C$。如果带入的体积是 $m^3$，那么需要进行换算才能得到正确的，带单位的结果。 | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | 接下来需要求平均温度。由前面可知，能量可以表示为体积与温度的乘积。根据单位，可以判断出平均温度是基于温度与体积的带权平均值，因此只需要使用总的能量除以总的体积即可得到平均温度值，即： | ||
| + | $$ | ||
| + | \displaystyle \frac{\int _0^1 T\cdot \pi y \, dy}{\int _0^1 \pi y \, dy} | ||
| + | $$ | ||
| + | ==work, heat & energy== | ||