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math:linear_algebra:matrix_engineers:week1 [2023/11/26 07:21] – [outer product] codingharemath:linear_algebra:matrix_engineers:week1 [2023/11/26 07:31] (当前版本) – [Inner product] codinghare
行 284: 行 284:
 $$ $$
 则内积可以表示为： 则内积可以表示为：
-\begin{align}+\\  
 +\[ 
 +\begin{align*}
  
 u^Tv & = \begin{pmatrix} u^Tv & = \begin{pmatrix}
行 294: 行 296:
  v_3  v_3
 \end{pmatrix} \\ & = u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3 \end{pmatrix} \\ & = u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3
-\end{align}+\end{align*} 
 +\]
 <WRAP center round box 100%> <WRAP center round box 100%>
   * 内积的结果是一个**标量**（//scalar//）   * 内积的结果是一个**标量**（//scalar//）
行 304: 行 307:
 </WRAP> </WRAP>
 ==outer product== ==outer product==
-矩阵中的 //Outer product//（**外积**），可以表示为一个列向量与另外一个列向量的转置的乘积。示例如下（以之前的 $u,v$ 为例）：+矩阵中的 //Outer product//（**外积**），可以表示为一个列向量与另外一个列向量的转置的乘积。示例如下（以之前的 $u,v$ 为例）：\\ \\ 
 \[ \[
-\begin{align}+\begin{align*}
  
  
行 321: 行 324:
   u_3v_1&  u_3v_2&u_3v_3   u_3v_1&  u_3v_2&u_3v_3
 \end{pmatrix} \end{pmatrix}
-\end{align}+\end{align*}
 \] \]
 其结果是一个**矩阵**。 其结果是一个**矩阵**。
-11+
 ==trace of matrix== ==trace of matrix==
 //trace//（**迹**），记作 $Tr$，指方阵主对角线上元素的和。 //trace//（**迹**），记作 $Tr$，指方阵主对角线上元素的和。
行 464: 行 467:
 接下来再对 $(Qx)^T(Qx)$ 变形，可得： 接下来再对 $(Qx)^T(Qx)$ 变形，可得：
 \\  \\ 
-\begin{align}+\[ 
 +\begin{align*}
 (Qx)^T(Qx) & = x^TQ^TQx\\ (Qx)^T(Qx) & = x^TQ^TQx\\
 & = x^TIx\\ & = x^TIx\\
 & = x^Tx\\ & = x^Tx\\
 &= ||x||^2 &= ||x||^2
-\end{align}+\end{align*} 
 +\]
 \\  \\ 
 到此即可得正我们需要的关系： 到此即可得正我们需要的关系：
行 500: 行 505:
 令向量 $u$ 的长度为 $r$，由三角关系可得： 令向量 $u$ 的长度为 $r$，由三角关系可得：
 \\ \\  \\ \\ 
-\begin{align}+\[ 
 +\begin{align*}
  
 x’ & = r\cdot cos(\theta+\phi) \\  x’ & = r\cdot cos(\theta+\phi) \\ 
行 512: 行 518:
 & = xsin(\theta)+ycos(\theta) & = xsin(\theta)+ycos(\theta)
  
-\end{align}+\end{align*} 
 +\]
 \\ \\  \\ \\ 
 将上述的结果带入之前的旋转等式，即可得到结果： 将上述的结果带入之前的旋转等式，即可得到结果：
  • 最后更改: 2023/11/26 07:21
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